Скачать реферат Экстремумы функций многих переменных

<-- рефераты Математика

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации
Иркутский Государственный Технический Университет
Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Реферат
На тему: “Экстремумы функций многих переменных”
Выполнил:
Студент группы ТЭ-97-1
Мартынов Ф.О.
Проверила:
Преподаватель кафедры
Седых Е.И.
Иркутск 1998
План реферата:
1. Понятие экстремума........................... 2
2. Необходимые условия экстремума.. 3
3. Достаточные условия экстремума... 6
4. Локальные экстремумы.................... 8
5. Условные экстремумы...................... 9
Экстремумы функций многих переменных.
Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:
Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными
Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)
функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .
При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).
Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.
Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны
нулю:
, .
Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.
Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при ,
т. е.
.
Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.
Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции .
Уравнение касательной плоскости к поверхности :

для стационарной точки принимает вид .
Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.
Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные
, . (*)
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1: Найдем стационарные точки функции

Система уравнений (*) имеет вид:

Из второго уравнения следует, что или , или .
Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.
Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.
Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).
Так, например, функция имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью .
Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.
Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:


Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.
Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию Ее частные производные равны нулю в начале координат,

листать страницы:
1  2  3