Скачать реферат Применение тройных и кратных интегралов

<-- рефераты Математика

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.
Иркутский государственный технический университет.
Кафедра высшей математики.
Реферат.
Применение тройных или кратных
интегралов.
Выполнила: студентка
группы ТЭ-97-1
Мелкоступова С.С.

Проверил преподаватель
кафедры высшей математики
Седых Е.И.
Иркутск 1998.
Содержание.
I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
II. Вычисление тройных интегралов.
1. Декартовы координаты.
А) Пример.
2. Цилиндрические координаты.
3. Сферические координаты.
А) Пример.
4. Применение тройных интегралов.

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

Единица измерения плотности - кг/м3.

Рис. 1.
Разобьем тело произволь¬ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по про¬извольной точке Полагая, что в, каждой час¬тичной области плотность по¬стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при¬ближенное выражение для массы всего тела в виде суммы
(*)
Предел этой суммы при ус¬ловии, что и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции по пространственной области .
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где - произвольная непрерывная в области функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую¬щей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формули¬руется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подын¬тегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1. Если функция во всех точках области интегри¬рования удовлетворяет неравенствам

то

где V - объем области .
VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подын¬тегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

II. Вычисление тройных интегралов.
Вычисление тройного интеграла может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.
1. Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл от функции

причем область отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования

В соответствии с этим будем писать

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования имеет вид, изобра¬женный на рис. 1).
Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет , уравнением верхней .
Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проек¬цией пространственной области на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .
Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция интегрируется по заключен¬ному в отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от - аппликаты точки «входа» ( ) прямой в область , до - аппликаты точки «выхода» ( ) прямой из области .

листать страницы:
1  2  3