Скачать реферат Некоторые свойства сферы Sn

<-- рефераты Математика

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ. 4
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В 5
СФЕРА . 6
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ . 7
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11

ВВЕДЕНИЕ
Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.
Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле
,
где – постоянная, – масса, – абсолютная температура и – давление газа. Таким образом, значение зависит от переменной упорядоченной тройки чисел или, как говорят есть функция трёх переменных .
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.
Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.

МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.
Условимся через обозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих из действительных чисел .
Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .
Число в наборе называют -й координатой точки .
Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние между точками , по формуле
(1)
Функция
,
определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.
Функцию, определённую на парах точек некоторого множества и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .
Множество вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.
Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением (1).
Из соотношения (1) следует, что при
(2)
т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.
Из (2), как и из (1), видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В
Определение 1. При множество

называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки .
Определение 2. Множество называется открытым в , если для любой точки найдётся шар такой, что .
Пример 1. – открытое множество в .
Пример 2. – пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. – открытое множество в .

листать страницы:
1  2  3