Скачать реферат Диалектика развития понятия функции

<-- рефераты Математика

Доклад для конференции по математике на тему:
«Диалектика развития понятия функции»
Понятие функции является одним из основных понятии ма¬тематики вообще и школьной математики в частности. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диа¬лектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегре¬ческой математике. Например, изменение площади, объема фигу¬ры в зависимости от изменения ее размеров Однако, древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуи¬тивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".
Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".
Под "каким угодно способом" во времена Бернулли понимали арифметические операции, извлечение корня, тригонометрические и обратные им функции; показательные, логарифмированные "операции", а также их различные комбинации.
Из сказанного выше видно, что с современной точки зрения под функцией Бернулли понимал один из способов ее задания и отождествлял понятие функции со способом задания. То есть такое определение тоже было значительно узким. Так под него не попадали такие зависимости, как

Иначе говоря, по определению Бернулли, функцией не считались функциональные зависимости /с современной точки зрения/, заданные на разных участках области определения различными аналитическими выражениями.
Однако, определение функции, данное Бернулли, устроило математиков, т.к. оно охватывало в то время все функции, какие были в употреблении и изучались математиками. Следует заметить, что подход к определению функции как к аналитическому выражению, которым оно задано, долго господствовал в математике вплоть до 18 в. Это определение полностью признавал и великий Эйлер.
Вместе с тем в математике все больше и больше накап¬ливались примеры таких функций, какие не подходили под соответствующее определение. Отказать в существовании таким величинам было нельзя, т.к. они выражали определенные жизненные закономерности, но и признать их функциями было тоже нельзя, т.к. они не подходили под существующее определение. Все крупнейшие математики, в том числе и Эйлер, видели это и понимали, что нужно отказаться от существующего определения и расширить понятие функции, В этом направлении начали принимать робкие попытки Эйлер, Бернулли и др.
Вопрос о расширении понятия функции особенно остро встал в связи с решением знаменитой задачи о колебании струны. Суть этой задачи состоит в следующем: упругая струна закреплена в 2-х точках оси Ох. Затем ее оттягивают /придавая ей определенную форму/ и отпускают без начальной скорости. Струна начинает колебаться. Требуется определить ее форму в последующий момент времени.

листать страницы:
1  2  3