Скачать реферат теория управления

<-- рефераты Математика

Управление - относится к математической теории управления движением технической системы.
Необходимо написать алгоритм, по которому некоторая система управляется с помощью энергетического воздействия, например : летательный аппарат управляется с помощью рулевой машины. Оказывается создать управление это не очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное управление чрезвычайно сложно.
Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления) созданных по некоторому критерию качества
Критерий качества - создание (абстрактное) некоторой функции риска, которая должна быть в процессе оптимизации минимизированна (экстремальная задача).
Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным.
Оптимальное - на бумаге,
Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному.
Управление бывает :
1) Программное
2) С помощью отрицательной обратной связи
Программное управление –
требуется создать программу, которая дает оптимальную траекторию (заложена в ЭВМ) движения некоторой системы.
Пример 1 : Перевод летательного аппарата из точки А в
точку В.
Критерий - минимизировать расход горючего.
Для реализации такой задачи создано две системы - Novstar
(США) и Глонасс (Россия), стоимость их очень высока.
Пример 2 : Надо создать такую траекторию, чтобы шарик скатился из точки ‘А’ в точку ‘В’ за минимальное время.
А
А - Оптимальная
В В траектория
Управление с помощью отрицательной обратной связи
Отрицательной обратной связью - называется передача энергии с выхода на вход некоторой управляемой системой



вх + Система вых


обратная связь
Бывает два вида обратной связи : Положительная ОС и отрицательная ОС.
Отрицательная ОС уменьшает входное воздействие на систему пропорционально выходному отклику (демпфирует систему в целом).
Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза
систем управления (корректировка движения, оптимизация переходных процессов) и создание оптимального управления.
Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления
движением радиотехнических систем.
Структурная схема системы радиоуправления :
Радио-  Устройство - Объект  Датчик
приемник Управления Управления

ООС
Радиоприемное устройство - устройство выделения сигнала
по некоторому радиоканалу.

Особенность выделения сигнала состоит в том, что сигнал выделяется на фоне внутренних шумов и помех.
Внутренние шумы - тепловые шумы, которые всегда имеют
место в радиоприемном устройстве.
Таким образом в радиоавтоматике случайные процессы изучаются особо (шум, помеха, сама траектория движения)
Устройство управления - как правило - вычислительная сис-
тема с приводом и энергетической
установкой.
Привод - преобразователь механических колебаний в элек-
трические.
Объект управления - некоторая динамическая система.
Динамическая система - система, которая описывается ли-
нейными и нелинейными дифферен-
циальными уравнениями высокого
порядка.
Датчик - устройство, которое измеряет положение летатель-
ного аппарата в пространстве.
Глава 1 Стохастическое управление
В случае стохастического управления, управляемые процессы являются случайными (стохастическими). Начальная точка управления А и конечная В не известны. В этом случае сам
управляемый процесс описывается стохастическими уравнени-
ями, которые, как правило, апроксимируются марковскими процессами.
Примеры систем автоматического управления
Системы автоматического управления можно описать прибли-
женно используя линейные или нелинейные дифференциальные
уравнения (детерминированный подход без учета шумов).Это
было до 60х годов: все подходы были стохастические линейные и нелинейные дифференциальные уравнения.
Пример 1 (детерминированный)
Управление движением космического аппарата в грави-
тационном поле земли (задача двух тел).
В геоцентрической системе координат

Z r - расстояние от центра земли
З - центр земли (вся ее масса)
К.А.
r К.А. - космический аппарат

X На космический аппарат действует
З притяжение :

Y F2 ;
К.А. F2 - управляющая сила
F3 - сопротивление среды

;
Третий закон Ньютона :

F3 F1
Если это уравнение спроектировать на оси ко-
ординат, то получим следующие три уравнения :
(1)
(1)- система линейных дифференциальных уравнений 2-го по-
рядка, которая описывает движение космического аппа-
рата.
Силы U1,U2,U3 - силы управления.
{x(t),y(t),z(t)} r(t) - траектория
Оказывается, что в зависимости от начальных условий и па-
раметров K1,K2,K3 траектория r(t) может быть круговая,
эллипсоидная, параболическая.
Пример 2 : Нелинейная система. Описывается нелинейным дифференциальным уравнением.
Генератор колебаний :
Можно показать, что процесс
x(t) описывается дифферен-
x(t) циальным уравнением 2-го
M порядка с нелинейным
членом .
R
C L L
C Если емкость варьировать,
то может стать ну-
лем и тогда мы получим си-
нусоидальное колебание:
x(t)=a sin(t+)
(автоколебания)
Если - положительно, то амплитуда колебаний увели-
чивается с течением времени.
Если - отрицательно - амплитуда колебаний уменьша-
ется с течением времени до нуля.
Глава 2
Математическое описание систем (детерминированная терия) (идеальный случай)
Линейные системы, которые описываются дифференциальными
уравнениями называются динамическими системами.
Если система описывается алгебраическими уравнениями -
- это описание состояния равновесия (статические системы)

По определению
(1)
(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Правая часть - это дифференциальное уравнение воз-
действия. Если Ly=0 (2) ,то Ly=Px.
(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает
линейные динамические системы без воздействия на
них. Например колебательный контур.
Правая часть уравнения (1) описывает воздействие на ли-
нейную систему или называется управлением.
Ly=x - управление.
Если есть часть Px - то это сложное управление, учитыва-
ющее скорость, ускорение.
Передаточная функция линейной системы
От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей-
ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

Вх W(p) Вых
Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или
смоделировать на ЭВМ.
От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти
двумя путями - используя символический метод и 2-е прео-
бразование Лапласа.

Сивмолический метод Хиви Сайда.
Применив символический метод к (1) получим :

(3)

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов -
описание передаточной функции.
Использование преобразования Лапласа
- преобразование Лапласа, p=j
Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1)
и учитывая, что , получим :
(4)
X(p) Y(p)
W(p)
Если правая часть передаточной функции простейшая -
, то воздействие обычное. Передаточ-
ная функция будет иметь вид :
(5) , где знамена-
тель дроби есть характеристическое уравне-
ние.
Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-
вается передаточной функцией :
(6)
Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-
ла необходимо решить следующее уравнение :

Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка
имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий
над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :
(7) t+ t)
Если корни   j решение будет (7)
(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если =0.
Устойчивость линейных систем
Линейная система полностью описывается передаточной функ-
цией, которая представляет собой :
в комплескной плоскости
p=+j . Эти полиномы получены из дифференциальных урав-
нений путем преобразования Лапласа.
Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)
Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-
ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.
Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором Q(p)=0.
Количество корней определяется степенью полинома. Если
корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q( )=0,
W(p)= - полюс.
Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,
где полином P(p)=0.
Количество нулей определяется порядком поли-
нома.
j
 > 0 полюсы

сопряж. пара 

 > 0

- полюсы (корни характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.
Выводы :
1. Если корни характеристического уравнения Q(p)
находятся в левой полуплоскости , то система ус-
тойчива. (t) - решение для комплексных
корней.
2. Если  >0 , то решение будет (t).
Система неустойчива.
Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс
Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.
Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая
система.
Если полюсы на мнимой оси, т.е. =0, то система нахо-
дится в колебательном режиме (Система без потерь).


Передаточная функция линейной системы на мнимой оси
В этом случае после преобразований получим:
W(j)=A()+jB() -
Передаточная функция есть комплексное число.
Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.
Оказывается очень удобно исследовать W(j)на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплек-
сной передаточной функции.
Комплексная функция :

АЧХ - четная функция:
ФЧХ - нечетная функция:

АЧХ

ФЧХ
АЧХ показывает селективность системы по
амплитудному спектру.
ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на
выходе фильтра каждая гармоника.
Замечание: Известно, что спектр сигнала (по
Фурье) удобно представлять в ком-
плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-
пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-
пределение фаз).
Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-
ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это
позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.
Передаточная функция систем радиоавтоматики
1)
вх  вых
Передаточная функция последовательно соединенных звень-
ев :
2)
Передаточная функция парал-
лельно соединенных звеньев:

вх вых

: :
: :
: :


3) y(t) Передаточная функция системы
x(t)   с обратной связью:



Типовые звенья радиоавтоматики
1) Инерционное звено
Передаточная функция :
C
вх R вых ;
W() АЧХ
K

 ()= - arctgT ФЧХ
0 
-45
-90
2) Интегрирующее звено
Передаточная функция :
W() АЧХ W(p)=
; ФЧХ :
0 

3) Дифференцирующее звено
C
R

R L

W() АЧХ Передаточная функция :
W(p)=Kp
АЧХ: W()=K
ФЧХ: ()=
0 

4) Форсирующее звено
W() АЧХ
Передаточная функция:


K АЧХ :
 ФЧХ :
0

 ()


0 
5) Запаздывающее звено
АЧХ: =1 Передаточная функция :
ФЧХ: ()=t
() ФЧХ
АЧХ
1
Запаздывающее звено называется линией задержки, где
t=T - время запаздывания ЛЗ. ()=T;
5) Колебательное звено
Передаточная функция:

АЧХ - параметр затухания
<1 - устойчивая система
>1 - самовозбуждающаяся
система
ФЧХ


6) Неминимально фазовое звено
Передаточная функция:
АЧХ при a=b :
; W()=1
ФЧХ при а=b : АЧХ
ФЧХ
Цифровые системы автоматического управления
Задан процесс: Будем рассматривать про-
y(t) цесс y(t) в дискретные мо-
менты времени.
Такой процесс называется с
дискретным временем.

Значения этого процесса в
дискретные моменты :


- значения
Существуют два типа процесса с дискретным временем :
1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством
состояний. Это означает, что функция является непре-
рывной ( если это случайный процесс, то непрерывна в
среднем квадратическом).
ПЗС

y(t) Преобразователь - непрерывные функции

ПЗС - прибор с зарядовой связью
- интервал дискретизации во времени (квантование по
времени)
Для таких процессов составляются разностные уравнения :
- 1-е приращение, конечная разность
- 2-я разность
2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством
состояний.
y(t) АЦП

Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что записы-
вается в цифровом виде - дискретная функция, вся база
исследований другая. Квантование идет и во времени и
по уровню.
Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом
случае аппаратура сильно упрощается.
Замечание :
1) В первом случае (ПЗС) если y(t) , то выход-
ной процесс , т.е. такой же, но дискрет-
ный.
2) - биномиальное распределение.
Оказывается, если число уровней квантования  8,то
их можно отождествить с непрерывными системами.
Представление дифференциальных уравнений, описывающих
системы автоматического управления конечных разностей
(1)
- первая разность, аналог пер-
вой производной
n - непрерывное время, непрерывное множество состо-
яний.
- аналог 2й
производной
.......................................

- аналог К-той производной
Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав-
нение то получим следующее :
(2)
Если подставить в (2) разности, то получим :
(3) -
- разностное уравнение с дискрентным временем.


Z -преобразования
Аналогичны преобразованию Лапласа. Это очень удобный аппарат для исследования систем с дискретным временем в
частотной области. Для этого вместо экспоненты (для упро-
щения) вводится - это есть Z-преобразование. Для
того, чтобы ввести Z-преобразование используется сле-
дующий прием связи непрерывного процесса X(t)и дискретно-
го (1)
X(1),X(2) - выборка с дискрет-
ным временем 

Рассмотрим преобразование Лапласа :
(2)
Формально введем новую переменную :
(3)
Используя (2) и (3) получим
(4)
(4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти
от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру
на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа,
но имеет те же свойства и для разных дискретных
функций имеются специальные таблицы.
Устойчивость систем с дискретным временем
Системы с непрерывным временем характеризуются передаточ-
ной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре
образовании, только переменная не p =   j, a ,
либо (на линейной оси)


P-плоскость Z-плоскость
(Система
устойчива)
- окружность, следовательно левая комплексная полу-
плоскость легче преобразуется во внутренность круга
Если полюсы передаточной функции находятся во внутреннос-
ти круга, то система устойчива, если полюсы находятся на
самом круге, то будет колебательный процесс, если вне
круга - система неустойчивая.
- устойчивая система - колебательная
система

n

листать страницы:
1  2  3